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    nameofcsdn的博客：全国高中数学联赛——代数

    作者：[db:作者] 时间：2021-07-11 22:31

    目录

    一，不等式

    二，多项式、函数、方程

    三，其他代数

    四，精选习题

    一，不等式

    ⑨范数不等式

    m>p>0, 则

    \left ( \sum_i |x_i|^p \right )^\frac{1}{p} \geq \left ( \sum_i |x_i|^m \right )^\frac{1}{m}

    当且仅当xi中至多有1个不为0时，不等式取等号。

    二，多项式、函数、方程

    三，其他代数

    四，精选习题

    1，0\leq x_1<1,x_{n+1}=\left\{\begin{matrix} 0,x_n=0\\ \{\frac{1}{x_n}\},x_n\neq 0 \end{matrix}\right.，证明x_1+x_2+...+x_n<\frac{F_1}{F_2}+\frac{F_2}{F_3}+...+\frac{F_n}{F_{n+1}}，其中F是斐波那契数列

    2，设f(x)=||...||x^{10}-2^{2007}|-2006|-...-2^2|-2|，求f(2007)

    3，设(1+x+x^2+...+x^{p-1})p+1=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{p^2-1}x^{p^2-1}，其中p是奇素数，求a_0+a_p+a_{2p}+...+a_{p^2-p}

    4，设a,b,c,d,e,f是实数，且ax^2+bx+c\geq |dx^2+ex+f|恒成立，求证：4ac-b^2\geq |4df-e^2|

    5，给定n个实数a_1,a_2,...,a_n，已知\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{i+j}=\frac{4}{2j+1}对于j=1,2,3,...,n都成立，求\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{2i+1}

    6，证明：存在正整数到正整数的映射f，f严格递增，且f(f(n))=kn，k为给定正奇数

    7，a_n=\{\sqrt 5n\}，求前2009项中的最大项和最小项

    8，S_1,S_2,S_3...是一个严格递增的正整数数列，S_{S_1},S_{S_2},S_{S_3}...和S_{S_1+1},S_{S_2+1},S_{S_3+1}...都是等差数列，求证S_1,S_2,S_3...是等差数列（IMO）

    9，α=\frac{\sqrt 5+1}{2}，f(x)是连续函数，且f(αx+y)+f(αy+z)+f(αz+x)=αf(x+y+z)+2(f(x)+f(y)+f(z))，求f

    10，a为常数，f_0(x)=1,f_{n+1}(x)=xf_n(x)+f_n(ax)，证明f_n(x)=x^nf_n(\frac{1}{x})

    11，求g(x)和f(x)，使得f(x)严格递增，且满足f(x+y)=f(x)g(y)+f(y) ①

    cs
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