一，蒲丰投针问题（Buffon's noodle）

平面内有无穷多条互相平行的直线，任意相邻两条的彼此间隔都是a，

有一条长为l的针，l<=a，把针随机丢在平面内，求针和直线有交点的概率。

解法一：

$p=\frac{2}{a}\int_0^{\frac{l}{2}}\frac{2arccos\frac{2y}{l}}{\pi}dy=\frac{2l}{a\pi}$

其中的思想是，针的质心的位置和针的方向是两个独立的随机变量。

所以，投针实验可以用来估算π的值。

解法二：

一个直径为a的圆和直线组的交点数量的均值为2，

所以直径为l/π的圆和直线组的交点数量的均值为 $\frac{2l}{a\pi}$

所以长为l的线段和直线组的交点数量的均值为 $\frac{2l}{a\pi}$

因为交点数大于1的概率为0，所以交点数等于1的概率就是 $\frac{2l}{a\pi}$

其中的思想是，交点的数量只和曲线长度有关，而且成正比，与曲线形状无关，证明思路是用折线逼近曲线，

但是总感觉这个证明非常不严谨，因为再短的线段也可能和直线有无穷多交点，这种情况是存在的，只是概率为0，而这种情况对交点数的期望的贡献是否为0？

这个问题可以抽象出一个更简单的核心问题：线段如果就是平行于直线的，但是位置是均匀随机的，那我们是不是可以认为交点个数的均值是线段长度除以a?

关于这方面，可以了解下?Geometric probability，本文不展开讨论了。

二，求定积分

要求 $I=\int_a^bf(x)dx$ ，可以在区间[a,b]内产生n个随机数，计算 $\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^nf(x_i)$

当n越来越大时，它就去趋近于I

例如，求 $I=\int_1^2\frac{1}{x}dx$

代码：

#include<iostream>
#include<time.h>
using namespace std;

int main()
{
    srand(time(NULL));
    int N=30000,num=0;
    double s=0;
    for(int i=0;i<100000;i++){
        int x=rand();
        if(x>=N)continue;
        s+=1/(x*1.0/N+1),num++;
    }
    cout<<s/num;
    return 0;
}

输出：

0.693811

实际上，I=ln2=0.69314718，误差还是比较小的。

这里为了保证随机数的质量，采用了拒绝采样?https://blog.csdn.net/nameofcsdn/article/details/116537214

三，求反常积分

1，无界函数反常积分

无界函数反常积分的表达式和定积分完全相同，所以用蒙特卡洛方法来求的步骤也是一样的。

例如，求 $I=\int_0^1\frac{1}{\sqrt x}dx$

代码：

#include<iostream>
#include<time.h>
#include<math.h>
using namespace std;

int main()
{
    srand(time(NULL));
    int N=30000,num=0;
    double s=0;
    for(int i=0;i<1000000;i++){
        int x=rand();
        if(x>=N)continue;
        s+=1/sqrt((x+1)*1.0/N),num++;
    }
    cout<<s/num;
    return 0;
}

输出：

1.98922

实际上，I=2，误差还是比较小的。