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    nameofcsdn的博客：高等数学

    作者：[db:作者] 时间：2021-07-11 22:27

    目录

    高等数学（1）函数、极限、导数

    1，直积（笛卡尔乘积）

    2，e的推导

    3，柯西极限存在准则

    4，间断点

    5，一致连续性

    6，压缩映射、利普希茨条件

    7，求导公式

    8，无穷大、无界变量

    高等数学（2）函数、极限、导数题目

    高等数学（3）中值定理、积分

    1，费马引理

    2，罗尔定理

    3，拉格朗日中值定理

    4，柯西中值定理

    5，泰勒中值定理

    6，曲率、曲率半径

    7，有理式、部分分式

    8，可积、有界

    9，反常积分、柯西主值

    10，积分变换

    11，中值定理题目

    12，高等数学——积分

    高等数学（4）级数

    高等数学（5）几何应用

    高等数学（6）二元函数微分

    高等数学（7）重积分、含参变量的积分

    高等数学（8）曲线、曲面积分

    高等数学（9）微分方程

    高等数学（1）函数、极限、导数

    1，直积（笛卡尔乘积）

    2，e的推导

    3，柯西极限存在准则

    4，间断点

    书上间断点的定义是，f(x)在x_0处不连续，则x_0为间断点。我个人感觉，数学分析上的定义更准确：f(x)在x_0的某邻域内有定义，且f(x)在x_0处不连续，则x_0为间断点。

    间断点有2类，第一类只有可去间断点和跳跃间断点，第二类包括但不限于无穷间断点和振荡间断点。

    5，一致连续性

    6，压缩映射、利普希茨条件

    7，求导公式

    8，无穷大、无界变量

    无穷大是无界变量，但无界变量不一定是无穷大

    高等数学（2）函数、极限、导数题目

    1, \mathrm{y}=|\mathrm{x}|=\sqrt{\mathrm{x}^{2}}是初等函数。
    2, \mathrm{y}=x^{x}=e^{\mathrm{xlnx}}是初等函数。
    3,?\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin m x}{\sin n x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{mx}}{n x}=\frac{\mathrm{m}}{n}
    4,?\lim _{x \rightarrow \pi} \frac{\sin m x}{\sin n x}=\lim _{x \rightarrow \pi} \frac{(-1)^{m} \sin m(x-\pi)}{(-1)^{n} \sin n(x-\pi)}=(-1)^{\mathrm{m}-\mathrm{n}} \frac{\mathrm{m}}{n}
    5,?\cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2^{2}} \ldots \cos \frac{x}{2^{n}}=\frac{\sin x}{2^{n} \sin \frac{x}{2^{n}}}(x \neq 0)

    6,?\sum_{k=1}^{n} \sin k x=\sum_{\mathrm{k}=1}^{n} \frac{\cos \left(k x+\frac{x}{2}\right)-\cos \left(k x-\frac{x}{2}\right)}{-2 \sin \frac{x}{2}}=\frac{\cos \left(n x+\frac{x}{2}\right)-\cos \frac{x}{2}}{-2 \sin \frac{x}{2}}
    7,?\sum_{k=1}^{n} \cos (a+k b)=\frac{\sin \left(a+n b+\frac{b}{2}\right)-\sin \left(a-\frac{b}{2}\right)}{2 \sin \frac{b}{2}}
    8, 设f(x)在x=0处可导， \mathrm{f}^{\prime}(0)=\frac{1}{3}?, 又对 \forallx,f(3+x)=3f(x), 求\mathrm{f}^{\prime}(3)
    解：\mathrm{f}^{\prime}(3)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(3+x)-f(3)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 f(x)-3 f(0)}{x}=3 \mathrm{f}^{\prime}(0)=1

    9, \mathrm{y}=\mathrm{x}(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-2) \ldots(\mathrm{x}-\mathrm{n}), 求?y^{(\mathrm{n}+1)}
    解：?\mathrm{y}=x^{\mathrm{n}+1}+\sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i},\left(x^{\mathrm{i}}\right)^{(n+1)}=0,故?y^{(\mathrm{n}+1)}=\left(x^{\mathrm{n}+1}\right)^{(n+1)}=(\mathrm{n}+1) !
    10,?\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{m}{1-x^{m}}-\frac{n}{1-x^{n}}\right)=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{m\left(1-x^{n}\right)-n\left(1-x^{m}\right)}{\left(1-x^{m}\right)\left(1-x^{n}\right)}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{m\left(1-(1+\Delta x)^{n}\right)-n\left(1-(1+\Delta x)^{m}\right)}{\left(1-(1+\Delta x)^{m}\right)\left(1-(1+\Delta x)^{n}\right)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{m \frac{-n(n-1)}{2} x^{2}-n \frac{-m(m-1)}{2} x^{2}}{(-m x)(-n x)}=\frac{\mathrm{m}-n}{2}
    11, \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{xcos} \mathrm{x}, 找出一个数列 \left\{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right\}?满足，当 \mathrm{n} \rightarrow \infty?时，?\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \rightarrow \infty?，（1）且?\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right) \rightarrow 0??(2) 且?\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right) \rightarrow+\infty??(3) 且?\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right) \rightarrow-\infty

    答案（1）?\mathrm{x}_{\mathrm{n}}=\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{2}??(2)?2 \mathrm{n} \pi? (3)?-2 \mathrm{n} \pi
    12, 求 \mathrm{f}(\mathrm{x})=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{x}+x^{2} e^{n x}}{1+e^{n x}}?的连续性
    解：求极限时，把x看成常数，当 x=0 时，?\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{x}+x^{2} e^{n x}}{1+e^{n x}}=0
    当 x>0 时, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{x}+x^{2} e^{n x}}{1+e^{n x}}=\mathrm{x}^{2}, 当 x<0时， \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{x}+x^{2} e^{n x}}{1+e^{n x}}=\mathrm{x}, 故 \mathrm{f}(\mathrm{x})=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{x}+x^{2} e^{n x}}{1+e^{n x}}?连续
    13，设 \mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})?连续，且 \mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-\mathrm{a})^{2} \mathrm{~g}(\mathrm{x}), 求?\mathrm{f}^{\prime \prime}(a)
    解：?\mathrm{f}^{\prime}(x)=2(x-a) g(x)+(x-a)^{2} g^{\prime}(x) \quad \therefore \mathrm{f}^{\prime}(a)=0
    (注意, f^{\prime \prime}(x)?可能不存在)

    \therefore \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(a+x)-f^{\prime}(a)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x g(a+x)+x^{2} g^{\prime}(a+x)}{x}=2 \mathrm{~g}(a)

    \therefore \mathrm{f}^{\prime \prime}(a)=2 \mathrm{~g}(\mathrm{a})
    14, \mathrm{f}_{+}^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x)?不成立
    15, 设 \mathrm{a}_{n}=\frac{\mathrm{e}^{n} n !}{n^{n}}? ?求\lim _{n \rightarrow \infty}a_n

    解：?\ln \mathrm{a}_{n+1}=\ln \mathrm{a}_{n}+1-\mathrm{n} \ln \left(1+\frac{1}{\mathrm{n}}\right)
    \because \mathrm{n} \ln \left(1+\frac{1}{\mathrm{n}}\right)=1-\frac{1}{2 n}+\frac{1}{3 \mathrm{n}^{2}}+\mathrm{o}\left(\frac{1}{\mathrm{n}^{2}}\right)
    \therefore \ln \mathrm{a}_{n} \rightarrow \infty?即\mathrm{a}_{n} \rightarrow \infty

    16, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-\cos x}}{x}?不存在,?\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{\sin x}}{\mathrm{x}-\sin \mathrm{x}}=1
    17, \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-2) \ldots(\mathrm{x}-100), 则?\mathrm{f}^{\prime}(0)=100 !
    18, 若 \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x}), \mathrm{f}(0)=1, 则?\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}
    19,?\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arcsin x}{\sin ^{3} x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arcsin x}{x^{3}}?=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x}{\sin ^{3} x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x}{x^{3}}=-\frac{1}{6}
    ?

    高等数学（3）中值定理、积分

    1，费马引理

    设f(x)在X?的邻域U（X?）内有定义且f'（X?）存在。
    若?x∈U（X?），f（X）≤f（X?）,则f'（X?）=0 ? （驻点或稳定点）

    2，罗尔定理

    若f（x）在[a,b]上连续,在（a,b）上可导, 且f（a）= f（b），则彐ε∈（a,b）,f'（ε）=0 ? ? ??

    3，拉格朗日中值定理

    若f（X）在[a,b]上连续,在（a,b）上可导，则?\exists\varepsilon \in(a,b),f'(\varepsilon )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
    也叫微分中值定理, 构造函数g(x)=f(x)-f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)

    4，柯西中值定理

    若f（x），F（x）在[a,b]上连续,在（a,b）上可导，且?x∈(a,b), F'(x)\neq 0?则

    \exists\varepsilon \in(a,b),\frac{f'(\varepsilon )}{F'(\varepsilon )}=\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}

    5，泰勒中值定理

    6，曲率、曲率半径

    曲率K是曲率半径的倒数，K=\frac{|y''|}{(1+y')^{3/2}}

    7，有理式、部分分式

    有理式都可以化成3个部分的和：\sum \frac{c_1}{(x-c_2)^{c_3}}、\sum \frac{c_1x+c_2}{(x^2+c_3x+c_4)^{c_5}}、\sum c_1x^{c_2}

    8，可积、有界

    若f在[a,b]上可积，则若f在[a,b]上有界

    9，反常积分、柯西主值

    反常积分分为无穷区间反常积分、无界函数反常积分、混合反常积分。

    无穷区间反常积分：\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{a}f(x)dx+\int_{a}^{+\infty}f(x)dx

    \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx的柯西主值是\lim_{t\to+\infty}\int_{-t}^{t}f(x)dx

    10，积分变换

    设f的反函数是g，那么\int_a^bf(x)dx=bf(b)-af(a)-\int_{f(a)}^{f(b)}g(y)dy

    对于无穷区间反常积分，如果反常积分\int_a^{+\infty}f(x)dx存在，那么\lim_{b\to+\infty}f(b)=0，且根据柯西判别法可得\lim_{b\to+\infty}bf(b)=0

    所以??\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\to+\infty}bf(b)-af(a)-\int_{f(a)}^0 g(y)dy= \int_0^{f(a)}g(y)dy-af(a)

    11，中值定理题目

    1, 若 |\mathrm{f}(\mathrm{x})| \leq 1, \quad\left|\mathrm{f}^{\prime \prime}(\mathrm{x})\right| \leq 1, 则 \left|\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})\right| \leq 2 \quad?(反证法)
    2, 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导, \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}) \neq 0, 证明 \exists \mathrm{s}, \mathrm{t} \in(\mathrm{a}, \mathrm{b})?使\frac{\mathrm{f}^{\prime}(s)}{\mathrm{f}^{\prime}(t)}=\frac{e^{b}-e^{a}}{b-a} e^{-t}
    解:?\exists \mathrm{s}, \mathrm{t} \in(\mathrm{a}, \mathrm{b})，f^{\prime}(t)=\frac{f(b)-f(a)}{e^{b}-e^{a}} e^{t}, f^{\prime}(s)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

    3，

    12，高等数学——积分

    https://blog.csdn.net/nameofcsdn/article/details/118500755

    高等数学（4）级数

    高等数学（5）几何应用

    高等数学（6）二元函数微分

    高等数学（7）重积分、含参变量的积分

    5，重积分换元法

    高等数学（8）曲线、曲面积分

    1，斯托克斯（Stokes）公式

    高等数学（9）微分方程

    1，一阶常微分方程求解。
    (1) 分离变量, 化为 g(y) d y=f(x) d x?则?\int g(y) d y=\int f(x) d x

    (2) 齐次方程 \frac{\mathrm{dy}}{d x}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right), 设 t=\frac{y}{x}则化为 (1)
    (3) 可化为齐次的方程 \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{c}}{\mathrm{a}_{1} \mathrm{x}+\mathrm{b}_{1} \mathrm{y}+\mathrm{c}}\right)
    若a b_{1}-a_{1} b \neq 0，设 x=x_{1}+d_{1}, y=y_{1}+d_{2} 化为（2）
    若a b_{1-} a_{1} b=0，设 t=a x+b y 化为 （1）
    (4) 一阶线性微分方程常数变易法?\frac{\mathrm{d} y}{d x}+\mathrm{P}(\mathrm{x}) \mathrm{y}=\mathrm{Q}(\mathrm{x})
    对应齐次 \frac{\mathrm{d} y}{d x}+\mathrm{P}(\mathrm{x}) \mathrm{y}=0, 解为\mathrm{y}=\mathrm{Ce}^{-\int \mathrm{P}(\mathrm{X}) \mathrm{dx}}
    设 \mathrm{y}=\mathrm{ue}^{-\int \mathrm{P}(\mathrm{X}) \mathrm{dx}} 解出 u

    2，二阶微分方程的降阶法
    对于y''=f(x,y')和y''=f(y,y')，设t=y'化为1
    3，线性微分方程的解的结构
    （1）一阶线性:非齐次通解=非齐次特解+齐次通解
    （2）二阶线性:齐次的解空间是二维线性空间，非齐次通解=非齐次特解+齐次通解
    4，刘维尔公式
    若y?是y''+Py'+Qy=0的一个非0特解
    则\mathrm{y}_{2}=\mathrm{y}_{1} \int\left(\frac{1}{\mathrm{y}_{1}^{\,2}} \mathrm{e}^{-\int \mathrm{Pdx}}\right) dx是与y?线性无关的特解
    5，二阶线性微分方程的常数变易法 y''+Py'+Qy=f
    （1）设对应齐次的特解为y? 则设y=uy?,化为2
    （2）设对应齐次的特解为y?、y? 则设y=u?y?+u?y?
    ? ? ?并设u?'y?+u?'y?=0 ，则u?'y?'+u?'y?'= f直接解出u?'、u?'

    6，

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