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    老猿Python：人工智能数学基础11：集合、函数及相关概念补充

    作者：[db:作者] 时间：2021-07-10 19:04

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    一、集合的表示约定

    • 对于数集,有时我们在表示数集的字母的右上角标上"*”来表示该数集内排除0的集，标上“+“来表示该数集内排除0与负数的集。
    • 全体有理数的集合记作Q，即：
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    • 全体实数的集合记作R，R*为排除数0的实数集，R+为全体正实数的集
    • 在两个集合之问还可以定义直积（也称笛卡儿Descartes乘积)。设A、B是任意
      两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成
      一个有序对(x,y)，把这样的有序对作为新的元素，它们全体组成的集合称为集
      合A与集合B的直积，记为AXB，即：
      AXB=|(x，y)|x∈A且y∈B|
      例如,RXR=|(x,y)lx∈R、y∈R|，即为xOy面上全体点的集合，RxR常记作R2
    • 邻域也是一个经常用到的概念，以点a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域，记作U(a)。
      设δ是任一正数，则开区间(a-δ,a+δ)就是点a的一个邻域,这个邻域称为点a的δ邻城,记作U(a,δ)，即：
      U(a,δ)=|x|a-δ<x<a+δ|
      点a称为这邻域的中心，δ称为这邻域的半径。
    • 有时用到邻域需要将邻域中心去掉，点a的δ邻城去掉中心后，称为点a的去心δ邻域，记作：
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      为了方便，有时把开区间（a-δ,a）称为a的左δ邻域，把开区间（a,a+δ）称为a的右δ邻域。

    二、映射的相关名词

    映射又称为算子。根据集合X、Y的不同情形,在不同的数学分支中,映射又
    有不同的惯用名称、例如,从非空集X到数集Y的映射又称为X上的泛函,从非
    空集X到它自身的映射又称为X上的变换,从实数集(或其子集)X到实数集Y
    的映射通常称为定义在X上的函数。

    复合映射

    设有两个映射：
    g：X->Y1，f：Y2->Z
    其中Y1?Y2，则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个x∈X映成f[g(x)]∈Z。显然这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作f○g，即：

    f○g:X->Z,(f○g)(x)=f[g(x)],x∈X

    由复合映射的定义可知，映射g和f构成复合映射的条件是：g的值域R，必须包含在f的定义域Df内，即R?Df，否则不能构成复合映射，由此可以知道映射g和f的复合是有顺序的，f○g 有意义并不表示g○f也有意义。即使f○g与g○f都有意义，复合映射f○g与g○f也未必相同。

    三、函数

    3.1、函数定义

    函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在R内，因此构成函数的要素是：定义域Df及对应法则f。如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的。

    函数的定义域通常按以下两种情形来确定：

    • 对有实际背景的函数，根据实际背景中变量的实际意义确定，在函数定义中给出定义域
    • 抽象地用算式表达的函数，通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域。在这种约定之下,一般的用算式表达的函数可用“y=f(x)”表达,而不必再表出Df。例如函数：
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      的定义域是闭区间[-1,1]。

    3.2、常用函数

    • 绝对值函数
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    • 符号函数
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    • 取整函数
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      x∈R，y∈Z

    • 分段函数
      自变量在不同变化范围中对应法则用不同式子表示的函数。

    3.3、函数的几个特性

    1、有界性

    设函数f(x)的定义域为D，数集X?D，如果存在数K1,使得：f(x)≤K1，对任一X∈X都成立，则称函数f(x)在 X 上有上界，而K1称为函数f(x)在X上的一个上界。

    如果存在数K2，使得：f(x)≥K2，对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X 上有下界，而K2称为函数(x)在X上的一个下界。

    如果存在正数M,使得：|f(x)|≤M，对任一x∈X都成立，则称函数(x)在X上有界。

    如果这样的M不存在，就称函数(x)在X上无界。这就是说，如果对于任何正数M，总存在x1属于X，使|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X 上无界。

    2、单调性

    设函数(x)的定义域为D，区间I?D。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有
    f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的。

    如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有
    f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调减少的。

    单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。

    3、函数的奇偶性

    设函数(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任一x∈D，f(-x)=f(x) 恒成立，则称f(x)为偶函数。

    如果对于任一x∈D，f(-x)=-f(x)恒成立，则称(x)为奇函数。

    4、函数的周期性

    设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数l，使得对于任一x∈D有(x±l)∈D，且
    f(x+l)=f(x)
    恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。

    5、反函数

    反函数是逆映射的特例。设函数f：D->f(D)是单射,则它存在逆映射 f -1：f(D)->D,称此映射f -1为函数的反函数。

    反函数记成：y=f -1(x)，x∈f(D)

    相对于y=f -1(x)来说，原来的函数y=f(x)称为直接函数。

    y=f -1(x)与y=f(x)的函数曲线关于直线y=x对称。

    3.4、函数运算

    设函数f(x)、g(x)的定义域依次为D1、D2，D=D1∩D2≠?，则定义这两个函数的四则运算如下：

    • （f±g)(x) = f(x)±g(x)，x∈D
    • （f·g）（x） = f(x)·g(x) ，x∈D
    • (f/g）（x） = f(x)/g(x) ，x∈D，g(x)≠0

    3.5、有趣的双曲函数

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    这些反双曲函数都可以通过自然对数来表示：
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    四、小结

    本文介绍了集合的表示法以及映射、函数的定义，重点介绍了函数的类型、性质和运算。

    更多人工智能数学基础请参考专栏《人工智能数学基础》。

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