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    通信汪的美好生活的博客：方阵的特征值与特征向量

    作者：[db:作者] 时间：2021-07-11 16:14

    一、特征值与特征向量的概念

    定义1

    设A是n阶方阵，若存在数\lambda和非零向量\alpha，使得

    A a=\lambda a? (1)

    则数 \lambda称为方阵 A 的特征值，非零向量 a ,称为 A 的对应于特征值 \lambda的特征向量.? ?

    注记1：

    (1) 只有方阵才存在特征值和特征向量；

    (2) 方阵的特征向量一定是非零向量；

    (3) 对于方阵A来说，对应于同一特征值的特征向量不唯一.

    定义1中，（1）式也可写成

    (A - \lambda E)x = 0（2），n 个未知元 n 个方程的齐次线性方程组

    (2)有非零解的充要条件是系数行列式

    | A - \lambda E | = 0，方阵 A? 的特征方程

    即：?

    定义2?

    ? 特征方程（2）左端的?| A - \lambda E |是关于数 \lambda?的n次多项式，记作 f(\lambda )= | A - \lambda E |, 称f(\lambda )为方阵AA的特征多项式.

    注记2:

    (1) 方阵A 的特征值就是特征方程的解.

    (2) 方阵A 的特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算）.

    (3)? n 阶方阵 A 一定有 n 个特征值.

    二、特征值与特征向量的性质

    定理 1 设 \lambda _{1},\lambda _{2}, \cdots ,\lambda _{n}是 n阶方阵 A=(a_{ij})的 n?个特征值( k 重特征值算作 k 个特征值) , 则

    (1)\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}=a_{1}+a _{2}+\cdots +a _{nn}=tr(A);

    (2)\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}=|A|.

    这里 tr(A)称为矩阵A的迹.

    定理2??? 设 \lambda是 n阶方阵 A的特征值，对应的特征向量为 \alpha，则

    (1) 方阵A的多项式\phi(A)=a_{0}E+a_{1}A+\cdots +a_{m}A^{m}满足\phi (A)\alpha =\phi(\lambda)\alpha ;

    (2) 当方阵 A 可逆时，A^{-1}a=(\frac{1}{\lambda })a.

    (3) 当\lambda \neq 0时，A^{*}a=(|A| )a;

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