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本文转载自Union-Find 算法详解
今天讲讲 Union-Find 算法,也就是常说的并查集算法,主要是解决图论中「动态连通性」问题的。名词很高端,其实特别好理解,等会解释,另外这个算法的应用都非常有趣。
说起这个 Union-Find,应该算是我的「启蒙算法」了,因为《算法4》的开头就介绍了这款算法,可是把我秀翻了,感觉好精妙啊!后来刷了 LeetCode,并查集相关的算法题目都非常有意思,而且《算法4》给的解法竟然还可以进一步优化,只要加一个微小的修改就可以把时间复杂度降到 O(1)。
废话不多说,直接上干货,先解释一下什么叫动态连通性吧。
简单说,动态连通性其实可以抽象成给一幅图连线。比如下面这幅图,总共有 10 个节点,他们互不相连,分别用 0~9 标记:
现在我们的 Union-Find 算法主要需要实现这两个 API:
class UF {
/* 将 p 和 q 连接 */
public void union(int p, int q);
/* 判断 p 和 q 是否连通 */
public boolean connected(int p, int q);
/* 返回图中有多少个连通分量 */
public int count();
}
这里所说的「连通」是一种等价关系,也就是说具有如下三个性质:
比如说之前那幅图,0~9 任意两个不同的点都不连通,调用connected都会返回 false,连通分量为 10 个。
如果现在调用union(0, 1),那么 0 和 1 被连通,连通分量降为 9 个。
再调用union(1, 2),这时 0,1,2 都被连通,调用connected(0, 2)也会返回 true,连通分量变为 8 个。
判断这种「等价关系」非常实用,比如说编译器判断同一个变量的不同引用,比如社交网络中的朋友圈计算等等。
这样,你应该大概明白什么是动态连通性了,Union-Find 算法的关键就在于union和connected函数的效率。那么用什么模型来表示这幅图的连通状态呢?用什么数据结构来实现代码呢?
注意我刚才把「模型」和具体的「数据结构」分开说,这么做是有原因的。因为我们使用森林(若干棵树)来表示图的动态连通性,用数组来具体实现这个森林。
怎么用森林来表示连通性呢?我们设定树的每个节点有一个指针指向其父节点,如果是根节点的话,这个指针指向自己。比如说刚才那幅 10 个节点的图,一开始的时候没有相互连通,就是这样:
class UF {
// 记录连通分量
private int count;
// 节点 x 的节点是 parent[x]
private int[] parent;
/* 构造函数,n 为图的节点总数 */
public UF(int n) {
// 一开始互不连通
this.count = n;
// 父节点指针初始指向自己
parent = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++)
parent[i] = i;
}
/* 其他函数 */
}
如果某两个节点被连通,则让其中的(任意)一个节点的根节点接到另一个节点的根节点上:
public void union(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
if (rootP == rootQ)
return;
// 将两棵树合并为一棵
parent[rootP] = rootQ;
// parent[rootQ] = rootP 也一样
count--; // 两个分量合二为一
}
/* 返回某个节点 x 的根节点 */
private int find(int x) {
// 根节点的 parent[x] == x
while (parent[x] != x)
x = parent[x];
return x;
}
/* 返回当前的连通分量个数 */
public int count() {
return count;
}
这样,如果节点p
和q
连通的话,它们一定拥有相同的根节点:
public boolean connected(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
return rootP == rootQ;
}
至此,Union-Find 算法就基本完成了。是不是很神奇?竟然可以这样使用数组来模拟出一个森林,如此巧妙的解决这个比较复杂的问题!
那么这个算法的复杂度是多少呢?我们发现,主要 APIconnected和union中的复杂度都是find函数造成的,所以说它们的复杂度和find一样。
find主要功能就是从某个节点向上遍历到树根,其时间复杂度就是树的高度。我们可能习惯性地认为树的高度就是logN,但这并不一定。logN的高度只存在于平衡二叉树,对于一般的树可能出现极端不平衡的情况,使得「树」几乎退化成「链表」,树的高度最坏情况下可能变成N。
所以说上面这种解法,find,union,connected的时间复杂度都是 O(N)。这个复杂度很不理想的,你想图论解决的都是诸如社交网络这样数据规模巨大的问题,对于union和connected的调用非常频繁,每次调用需要线性时间完全不可忍受。
问题的关键在于,如何想办法避免树的不平衡呢?只需要略施小计即可。
我们要知道哪种情况下可能出现不平衡现象,关键在于union
过程:
public void union(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
if (rootP == rootQ)
return;
// 将两棵树合并为一棵
parent[rootP] = rootQ;
// parent[rootQ] = rootP 也可以
count--;
}
我们一开始就是简单粗暴的把p
所在的树接到q
所在的树的根节点下面,那么这里就可能出现「头重脚轻」的不平衡状况,比如下面这种局面:
长此以往,树可能生长得很不平衡。我们其实是希望,小一些的树接到大一些的树下面,这样就能避免头重脚轻,更平衡一些。解决方法是额外使用一个size数组,记录每棵树包含的节点数,我们不妨称为「重量」:
class UF {
private int count;
private int[] parent;
// 新增一个数组记录树的“重量”
private int[] size;
public UF(int n) {
this.count = n;
parent = new int[n];
// 最初每棵树只有一个节点
// 重量应该初始化 1
size = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
parent[i] = i;
size[i] = 1;
}
}
/* 其他函数 */
}
比如说size[3] = 5
表示,以节点3
为根的那棵树,总共有5
个节点。这样我们可以修改一下union
方法:
public void union(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
if (rootP == rootQ)
return;
// 小树接到大树下面,较平衡
if (size[rootP] > size[rootQ]) {
parent[rootQ] = rootP;
size[rootP] += size[rootQ];
} else {
parent[rootP] = rootQ;
size[rootQ] += size[rootP];
}
count--;
}
这样,通过比较树的重量,就可以保证树的生长相对平衡,树的高度大致在logN这个数量级,极大提升执行效率。
此时,find,union,connected的时间复杂度都下降为 O(logN),即便数据规模上亿,所需时间也非常少。
这步优化特别简单,所以非常巧妙。我们能不能进一步压缩每棵树的高度,使树高始终保持为常数?
这样find就能以 O(1) 的时间找到某一节点的根节点,相应的,connected和union复杂度都下降为 O(1)。
要做到这一点,非常简单,只需要在find中加一行代码:
private int find(int x) {
while (parent[x] != x) {
// 进行路径压缩
parent[x] = parent[parent[x]];
x = parent[x];
}
return x;
}
这个操作有点匪夷所思,看个 GIF 就明白它的作用了(为清晰起见,这棵树比较极端):
可见,调用find函数每次向树根遍历的同时,顺手将树高缩短了,最终所有树高都不会超过 3(union的时候树高可能达到 3)。
PS:读者可能会问,这个 GIF 图的find过程完成之后,树高恰好等于 3 了,但是如果更高的树,压缩后高度依然会大于 3 呀?不能这么想。这个 GIF 的情景是我编出来方便大家理解路径压缩的,但是实际中,每次find都会进行路径压缩,所以树本来就不可能增长到这么高,你的这种担心应该是多余的。
我们先来看一下完整代码:
class UF {
// 连通分量个数
private int count;
// 存储一棵树
private int[] parent;
// 记录树的“重量”
private int[] size;
public UF(int n) {
this.count = n;
parent = new int[n];
size = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
parent[i] = i;
size[i] = 1;
}
}
public void union(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
if (rootP == rootQ)
return;
// 小树接到大树下面,较平衡
if (size[rootP] > size[rootQ]) {
parent[rootQ] = rootP;
size[rootP] += size[rootQ];
} else {
parent[rootP] = rootQ;
size[rootQ] += size[rootP];
}
count--;
}
public boolean connected(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
return rootP == rootQ;
}
private int find(int x) {
while (parent[x] != x) {
// 进行路径压缩
parent[x] = parent[parent[x]];
x = parent[x];
}
return x;
}
public int count() {
return count;
}
}
Union-Find 算法的复杂度可以这样分析:构造函数初始化数据结构需要 O(N) 的时间和空间复杂度;连通两个节点union、判断两个节点的连通性connected、计算连通分量count所需的时间复杂度均为 O(1)。
现在解决这道朋友圈问题就很简单了:
public int findCircleNum(int[][] M) {
int n = M.length;
UF uf = new UF(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (M[i][j] == 1)
uf.union(i, j);
}
}
return uf.count();
}
首先,复习一下,Union-Find 算法解决的是图的动态连通性问题,这个算法本身不难,能不能应用出来主要是看你抽象问题的能力,是否能够把原始问题抽象成一个有关图论的问题。
算法的关键点有 3 个:
有的读者问,既然有了路径压缩,size 数组的重量平衡还需要吗?这个问题很有意思,因为路径压缩保证了树高为常数(不超过 3),那么树就算不平衡,高度也是常数,基本没什么影响。
我认为,论时间复杂度的话,确实,不需要重量平衡也是 O(1)。但是如果加上 size 数组辅助,效率还是略微高一些,比如下面这种情况:
如果带有重量平衡优化,一定会得到情况一,而不带重量优化,可能出现情况二。高度为 3 时才会触发路径压缩那个 while 循环,所以情况一根本不会触发路径压缩,而情况二会多执行很多次路径压缩,将第三层节点压缩到第二层。
也就是说,去掉重量平衡,虽然对于单个的 find 函数调用,时间复杂度依然是 O(1),但是对于 API 调用的整个过程,效率会有一定的下降。当然,好处就是减少了一些空间,不过对于 Big O 表示法来说,时空复杂度都没变。
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