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leslie lee的博客（python ansys）：DFT理论

作者：[db:作者] 时间：2021-06-25 12:15

线性系统的性质

输入x(n)，输出y(n)
齐次性：输入k*x(n)，输出k*y(n)
可加性：输入x1(n)，输出y1(n)，输入x2(n)，输出y2(n)，则输入x1(n)+x2(n)，输出y1(n)+y2(n)
位移不变性：输入x(n+s)，输出y(n+s)
静态线性：输入为常数，输出为常数，记录多组输入与输出后，拟合出一条直线
正弦保真性：输入 $A_1 sin(wt+\phi_1)$ ，输出 $A_2 sin(wt+\phi_2)$

信号进行傅里叶变换FT时对应的名称

非周期、连续信号：傅里叶变换FT
周期、连续信号：傅里叶级数FS
非周期、离散?信号：离散时间傅里叶变换DTFT
周期、离散：离散傅里叶变换DFT，也称离散傅里叶级数DFS

上图为四种信号
非周期信号要用无穷个正弦曲线来合成，周期信号可以用有限个正弦曲线来合成。
连续信号要用连续的正弦曲线来合成，离散信号要用离散的正弦曲线来合成。
连续、无穷计算机都无法处理，所以计算机只能实现DFT。

实数DFT，N点的输入信号变成N/2+1点的输出信号
复数DFT，N点的输入信号变成N点的输出信号

DFT公式

正变换?
$X_k = \sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{\frac{-j2 \pi kn}{N}}, k=0,1,...,N-1$
$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} (x_n cos{\frac{2 \pi kn}{N}} - x_n j sin{\frac{2 \pi kn}{N}})$ ??
逆变换
$x_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{\frac{j2 \pi kn}{N}} , n=0,1,...,N-1$
$x_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} (X_k cos{\frac{2 \pi kn}{N}} + X_k j sin{\frac{2 \pi kn}{N}})$

输入与输出
$x_n = x_{rn} + x_{in}j, X_k = X_{rk} + X_{ik}j$ ，如果输入序列为实数， $x_n = x_{rn}$

推导 $X_{N-k}$ 与 X_k 的关系

$X_{N-k} = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{\frac{-j2 \pi (N-k) n}{N}} = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-j2 \pi n + j2 \pi \frac{kn}{N}} = \sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{ j2 \pi \frac{kn}{N}}$ ?

$\sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{ j2 \pi \frac{kn}{N}} = \sum_{n=0}^{N-1}(x_{rn} + x_{in}j) (cos(2 \pi \frac{kn}{N}) + j sin(2 \pi \frac{kn}{N} )) = \sum_{n=0}^{N-1}(x_{rn}cos(2 \pi \frac{kn}{N}) - x_{in}sin(2 \pi \frac{kn}{N}) ) +\sum_{n=0}^{N-1} j(x_{rn}sin(2 \pi \frac{kn}{N}) + x_{in}cos(2 \pi \frac{kn}{N}))$ ?

$X_{N-k} = X_{r(N-k)} + j X_{i(N-k)} = \sum_{n=0}^{N-1}(x_{rn}cos(2 \pi \frac{kn}{N}) - x_{in}sin(2 \pi \frac{kn}{N}) ) +j \sum_{n=0}^{N-1} (x_{rn}sin(2 \pi \frac{kn}{N}) + x_{in}cos(2 \pi \frac{kn}{N}))$ ?

$X_k = \sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{\frac{-j2 \pi kn}{N}} = \sum_{n=0}^{N-1} (x_{rn} + j x_{in})(cos(2 \pi \frac{kn}{N}) - jsin(2 \pi \frac{kn}{N})) = \sum_{n=0}^{N-1}(x_{rn}cos(2 \pi \frac{kn}{N}) + x_{in}sin(2 \pi \frac{kn}{N}) ) +j \sum_{n=0}^{N-1} (x_{in}cos(2 \pi \frac{kn}{N}) - x_{rn}sin(2 \pi \frac{kn}{N}))$

可以看出根本推不出啥关系，但如果输入为实数序列（本文从此处开始一直说的是实数序列）
$X_{N-k} = X_{r(N-k)} + j X_{i(N-k)} = \sum_{n=0}^{N-1}x_{rn}cos(2 \pi \frac{kn}{N}) +j \sum_{n=0}^{N-1} x_{rn}sin(2 \pi \frac{kn}{N})$
$X_k = \sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{\frac{-j2 \pi kn}{N}} = \sum_{n=0}^{N-1}x_{rn}cos(2 \pi \frac{kn}{N}) + j \sum_{n=0}^{N-1} - x_{rn}sin(2 \pi \frac{kn}{N})$
此时就会推出 $X_{N-k} = X^*_k$

由此可见输入为实数序列与输入为复数序列稍微有些差别，实数序列的结果是重复的。

举个例子
输入：实数序列 x(n) = [x_0,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5]
输出：复数序列 X(k) = [X_0,X_1,X_2,X_3,X_4,X_5], N=6
根据推导出的公式得出? X(k) = [X_0, X_1,X_2,X_3,X^*_2,X^*_1]
我们只会要 X(k) = [X_0, X_1,X_2,X_3]

再举个例子
输入：实数序列 x(n) = [x_0,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6]
输出：复数序列 X(k) = [X_0,X_1,X_2,X_3,X_4,X_5,X_6], N=7
根据推导出的公式得出? X(k) = [X_0, X_1,X_2,X_3,X^*_3,X^*_2,X^*_1]
我们只会要 X(k) = [X_0, X_1,X_2,X_3]

绘制幅值谱时，不去掉重复的那些，绘制出来的就是对称的。
根据举的例子可看出N个元素的序列，我们最终保留下 $[X_0,X_1,...X_{[N/2]}]$ ，[ ]为取整符号

这也就是为什么写逆变换公式时，有的写至N-1，有的写至[N/2]（有的写作N/2，省略了取整的说明），这都是可以的
$x_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{\frac{j2 \pi kn}{N}} , n=0,1,...,N-1$
$x_n = \frac{1}{[N/2]+1} \sum_{k=0}^{[N/2]} X_k e^{\frac{j2 \pi kn}{N}} , n=0,1,...,[N/2]$

将公式继续展开
$x_n = \frac{1}{[N/2]+1} \sum_{k=0}^{[N/2]} X_k e^{\frac{j2 \pi kn}{N}} = \frac{1}{[N/2]+1} \sum_{k=0}^{[N/2]} (X_{rk} + jX_{ik}) (cos(\frac{2 \pi kn}{N}) + jsin(\frac{2 \pi kn}{N})) = \frac{1}{[N/2]+1} \sum_{k=0}^{[N/2]} (X_{rk}cos(\frac{2 \pi kn}{N}) - X_{ik}sin(\frac{2 \pi kn}{N})) + \frac{1}{[N/2]+1} \sum_{k=0}^{[N/2]} j (X_{ik}cos(\frac{2 \pi kn}{N}) +X_{rk}sin(\frac{2 \pi kn}{N}))$
总所周知，Asinx+Bsinx这种形式可以合成为一个Csin(x+Φ)，上面的形式为Acos-Bsin与Bcos+Asin
$Acos(\theta) - Bsin(\theta) = \sqrt{A^2+B^2}sin(arctan(A/B) - \theta) = - \sqrt{A^2+B^2}sin(\theta - arctan(A/B))$
$Bcos(\theta) + Asin(\theta) = \sqrt{A^2+B^2}cos(arctan(A/B) - \theta) =\sqrt{A^2+B^2}cos(\theta - arctan(A/B))$
所以 x_n 可写作
$x_n = \frac{1}{[N/2]+1} \sum_{k=0}^{[N/2]} -|X_k|sin(\frac{2 \pi kn}{N} - arctan(\frac{X_{rk}}{X_{ik}})) + \frac{1}{[N/2]+1} j \sum_{k=0}^{[N/2]} |X_k|cos(\frac{2 \pi kn}{N} - arctan(\frac{X_{rk}}{X_{ik}}))$ ?
因此输入序列的每个点 x_n ，都可看作 [N/2] + 1 个余弦与正弦上对应一点的的合成
$2 \pi kn/N$ 对应 $wt = 2 \pi f t$
可以认为 f=k, t=n/N
输入序列 x_n 也就可以看作个余弦与正弦的的合成

附一张我们常见的图，出自http://dspguide.com/ch8.html

说的就是一个16点的实数序列是9个正弦与9个余弦的合成

16点的实数序列是8个正弦或8个余弦的叠加，这样的想法也对，接下来我继续推导
$x_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{\frac{j2 \pi kn}{N}} , n=0,1,...,N-1$
$X_{N-k} = X^*_k$
$X_k e^{\frac{j2\pi n}{N/k}} + X_{N-k} e^{\frac{j2\pi n}{N/(N-k)}} = A_k cos(\frac{2kn \pi}{N} + \phi_k)$ ?
如果N为偶数
$x_n = (X_0 + X_{\frac{N}{2}} e^{j \pi n})/N + \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{\frac{N}{2} -1} A_k cos(\frac{2kn \pi}{N} + \phi_k)$
x_n 可看作两个直流与N/2-1个简谐的叠加（此时N/2=[N/2]），可看作[N/2]+1个简谐（直流看作简谐的特殊情况）
如果N为奇数
$x_n = X_0/N + \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{[N/2]} A_k cos(\frac{2kn \pi}{N} + \phi_k)$
x_n 可看作一个直流与[N/2]个简谐的叠加，可看作[N/2]+1个简谐
因此16点的实数序列是8个正弦或8个余弦的叠加，这里推到的是8个余弦的叠加，也可推到为8个正弦的叠加
$X_k e^{\frac{j2\pi n}{N/k}} + X_{N-k} e^{\frac{j2\pi n}{N/(N-k)}} = A_k cos(\frac{2kn \pi}{N} + \phi_k)$