这年头不会微积分干什么都不行啊
微积分其实就只有两种运算,一种是求导,另一种是求不定积分。并且其为互逆运算
导数(Derivative),也叫导函数值。又名微商,是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f'(x0)或df(x0)/dx。——百度百科
这个很简单,按照定义来就行了。
我们假设一个函数在 \(x_0\) 处产生了一个非常小的增量 \(dx\) ,同时导致了纵坐标的增量 \(df\) ,那么根据定义,其导数即为 \(\frac{df}{dx}\) 。
以 \(f(x)=x^2\) 为例:
当 \(dx\) 无限趋近于 \(0\) 时,我们可以将其省略,那么 \(\frac{df}{dx}=2x\) 。所以函数 \(f(x)=x^2\) 的导数为 \(f'(x)=2x\) 。
但是,有没有更直观的方法呢?我可不想每次求导数的时候都去这样推一遍。自然是有的。用几何法也可以证明。
让我们假设现在有一个边长为 \(x\) 的正方形,那么它的面积就为 \(x^2\) ,该函数的函数值。此时如果该正方形的边长增加一个很小的量 \(dx\) ,那么它的面积 \(ds\) 就会增加 \(dx\cdot x+dx\cdot +dx^2\) ,因为 \(dx\) 本身就是一个极小的值,那么其平方会变得更小,我们可以直接忽略不计。那么 \(\frac{ds}{dx}\) 的值就为 \(2x\) ,与我们用代数法算出来的答案是一样的。
假如我们学过微积分,这时我们就会发现,导数里面的系数 \(2\) 居然和原函数的指数 \(2\) 相同!这是巧合吗?显然不是。我们试着写出函数 \(f(x)=x^3\) 的导数 \(f'(x)=3x^2\),发现居然和二次函数一样。那是不是……
好吧我坦白,这就是幂函数的共性……除此之外,还有许多其他类的函数也具有相同的性质:
我们发现这个里面有一个非常神奇的函数 \(e^x\) ,它的导数居然是它自己。怎么说呢,其实自然常数 \(e\) 就是这样定义的。我们对任意指数函数求导,以 \(2^x\) 为例:
当 \(dx\) 趋近于 \(0\) 的时候,\(\frac{2^{dx}-1}{dx}\) 会趋近于某个常数。也就是说,\(2^x\) 的导数是它自己乘上一个固定的常数。说到这里你可能就明白了,自然常数 \(e\) 的值即为 \(\lim_{dx\rightarrow 0}\frac{e^{dx}-1}{dx}=1\Rightarrow e=\lim_{dx\rightarrow 0}(dx+1)^{\frac{1}{dx}}\)
再多说一点,其实 \(2^x\) 的导数的那个常数就是 \(\ln\:(2)\) 。为什么?看完复合函数的求导就知道了。
普通函数适用的范围毕竟还是太小了,生活中大多数函数都为非普通函数,还是要掌握其求导方法。
非普通函数的求导满足一下三个规则:
这三种规则都有其直观的几何理解,就比如积规则,可以想象一个分别以两个函数的函数值为边长的长方形,看其面积随着边长怎样变化。链规则则可想象三根数轴,各个因变量是如何随着各自的自变量的变化而变化。
类似的方法还有很多,就不再赘述了。
讲一讲之前的那个指数函数求导的常数证明吧:
积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说,对于一个给定的正实值函数,在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上,由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值(一种确定的实数值)。——百度百科
在数学中,泰勒级数(英语:Taylor series)用无限项连加式——级数来表示一个函数,这些相加的项由函数在某一点的导数求得。——百度百科
说白了,泰勒级数就是用一个多项式去模拟一个函数,至少在 \(OI\) 中是这样的,可以用于牛顿迭代的推导以及生成函数的变形。
我们将多项式看做一个函数,那么问题就变成了如何用一个函数去模拟另外一个函数。
我们先从 \(x=0\) 下手(因为简单)
如果两个函数图像一样的话,那么至少在 \(x=0\) 时的函数值要相等吧,所以我们让其的常数项相等。
如果两个函数图像一样的话,那么至少在\(x=0\) 附近的变化趋势要相等吧,所以我们让其导数相等。
如果两个函数图像一样的话,那么至少在\(x=0\) 附近的变化趋势的变化趋势要相等吧,所以我们让其二阶导数相等。
……
可以证明,在 \(x=0\) 时,\(g(x)\) 的 \(n\) 阶导数只与 \(x^n\) 的系数有关系,因为之前的求导时已经变成 \(0\) ,而后边的因为含有 \(x\) 而为 \(0\)
那么在 \(x=0\) 时我们就得到了函数 \(f(x)\) 的近似拟合函数
这个叫做麦克劳林级数。
等等,那泰勒去哪儿了?
刚刚所展现的是在 \(x=0\) 附近拟合的过程。只需稍作替换,就可以在任意地方 \(x=x_0\) 处拟合了。这就是泰勒级数:
所以麦克劳林级数只是泰勒级数在 \(x=0\) 的特殊情况。
下面是我在 \(Geogebra\) 上所拟合的 \(\cos(x)\) 以及 \(e^x\) :
数学真的是一门美妙的学科。
为什么圆的面积公式为 \(\pi r^2\) ?我们可以尝试将圆分成许许多多的圆环,并且将其展平,近似地看做一个个长方形。然后将他们由小到大放在坐标轴上。当相差的半径足够小的时候,就可以看作是一个底为 \(r\) (半径),高为 \(2\pi r\) (周长)的三角形,故得圆的面积公式。
为什么三角形邻边比上斜边叫做余弦?因为余弦函数是正弦函数的导数。即
——2021年2月8日