线性判别分析（linear discriminant analysis），LDA。也称为Fisher线性判别（FLD）是模式识别的经典算法。

（1）中心思想：将高维的样本投影到最佳鉴别矢量空间，来达到抽取分类信息和压缩特种空间维数的效果，投影后保证样本在新的子空间有最大的类间距离和最小的类内距离。也就是说在该空间中有最佳的可分离性。

（2）与PCA的不同点：PCA主要是从特征的协方差出发，来找到比较好的投影方式，最后需要保留的特征维数可以自己选择。但是LDA更多的是考虑了类别信息，即希望投影后不同类别之间数据点的距离更大，同一类别的数据点更紧凑。

从图中也可以看出，LDA的投影后就已经将不同的类别分开了。

所以说，LDA是以分类为基准的，考虑的是如何选择投影方向使得分类更好，是有监督的。但是PCA是一种无监督的降维方式，它只是单纯的降维，只考虑如何选择投影面才能使得降维以后的样本信息保留的最大。

（3）LDA的维度：LDA降维后是与类别个数直接相关的，而与数据本身的维度没有关系。如果有C个类别，LDA降维后一般会选择1-C-1维。对于很多二分类问题，LDA之后就剩下一维，然后再找到一个分类效果最好的阈值就可以进行分类了。

（4）投影的坐标系是否正交：

PCA的投影坐标系都是正交的，而LDA是根据类别的标注，主要关注的是分类能力，因此可以不去关注石否正交，而且一般都不正交。

（5）LDA步骤：

（a）计算各个类的样本均值：

这个地方需要注意的是，分别求出每个类别样本的Sbi或者Swi后，在计算总体的Sb和Sw时需要做加权平均，因为每个类别中的样本数目可能是不一样的。

（d）LDA作为一个分类的算法，我们希望类内的聚合度高，即类内散度矩阵小，而类间散度矩阵大。这样的分类效果才好。因此引入Fisher鉴别准则表达式：

（inv(Sw)Sb）的特征向量。且最优投影轴的个数d<=C-1;

（e）所以，只要计算出矩阵inv(Sw)Sb的最大特征值对应的特征向量，该特征向量就是投影方向W。

（6）计算各点在投影后的方向上的投影点：

MATLAB实现代码：

%这是训练数据集

%2.9500 6.6300 0
%2.5300 7.7900 0
%3.5700 5.6500 0
%3.1600 5.4700 0
%2.5800 4.4600 1
%2.1600 6.2200 1

%3.2700 3.5200 1

X=load('22.txt');
pos0=find(X(:,3)==0);
pos1=find(X(:,3)==1);
X1=X(pos0,1:2);
X2=X(pos1,1:2);
hold on
plot(X1(:,1),X1(:,2),'r+','markerfacecolor', [ 1, 0, 0 ]);
plot(X2(:,1),X2(:,2),'b*','markerfacecolor', [ 0, 0, 1 ]);

grid on

%输出样本的二维分布

M1 = mean(X1);
M2 = mean(X2);
M = mean([X1;X2]);
%第二步：求类内散度矩阵
p = size(X1,1);
q = size(X2,1);
a=repmat(M1,4,1);
S1=(X1-a)'*(X1-a);
b=repmat(M2,3,1);
S2=(X2-b)'*(X2-b);
Sw=(p*S1+q*S2)/(p+q);
%第三步：求类间散度矩阵
sb1=(M1-M)'*(M1-M);
sb2=(M2-M)'*(M2-M);
Sb=(p*sb1+q*sb2)/(p+q);
bb=det(Sw);
%第四步：求最大特征值和特征向量
[V,L]=eig(inv(Sw)*Sb);
[a,b]=max(max(L));

W = V(:,b);%最大特征值所对应的特征向量

%第五步：画出投影线
k=W(2)/W(1);
b=0;
x=2:6;
yy=k*x+b;

plot(x,yy);%画出投影线